過去ログ - 【安価】苗木「今日から２年生か……」１３らーぶらーぶ目【ダンガンロンパ１＋２】 -SS速報VIP

過去ログ - 【安価】苗木「今日から２年生か……」１３らーぶらーぶ目【ダンガンロンパ１＋２】

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984:以下、２０１３年にかわりまして２０１４年がお送りします[sage ]
2014/01/28(火) 19:38:09.05 ID:sS1mw57d0
数学の授業＆勉強会
数学教師「今日は扇形の弧の長さと面積についてやっていくわ」
数学教師「『弧度法』と呼ばれる、半径rの円において、長さがrの弧に対する中心角をa°とした場合、aの値は半径rに関係なく一定になるこの角の大きさを『１ラジアン』または『１弧度』といい、この単位の角を表し方を用いるわ」
数学教師「半径r、中心角θ（ラジアン）の扇形の弧の長さl、扇形の面積Sは、どちらも中心角の大きさに比例するの」
数学教師「よって、l=2πr×θ/2π　S=πr^2×θ/2π　つまり、l=rθ　S=r^2θ/2=rl/2が成り立つわね」
数学教師「例題を挙げるわ。『半径9cm、中心角4π/3の扇形の弧の長さlと面積Sを求めよ。』」
数学教師「l=πrだから、l=9×4π/3=12π(cm)　S=r^2θ/2だから、S=1/2×9^2×4π/3=54π(cm^2)になるわね」
数学教師「それじゃあ練習問題よ。『半径2cm、中心角5π/4の扇形の弧の長さlと面積Sを求めよ。』」
苗木（l=rθ　S=r^2θ/2=rl/2に当てはめればいいんだね。半径がr、中心角がθになるぞ）
１：l=5π/2cm　S=5π/2cm^2○ 　２：l=5π/2cm　S=2π/5cm^2 　３：l=2π/5cm　S=5π/2cm^2
苗木「l=5π/2cm　S=5π/2cm^2になります」
数学教師「正解よ。弧の長さlは2×5π/4=5π/2(cm)になり、面積Sは1/2×2^2×5π/4=5π/2になるわ」
数学教師「弧度法の中には、覚えておくべき主な角θがあるわ」
数学教師「例えば、0°=0　30°=π/6　45°=π/4　60°=π/3　90°=π/2　180°=πといった感じね」
数学教師「ちなみに、0°や180°といった普段私達が使うこの表記を『度数法』と言うわ。『弧度法』と合わせて覚えて頂戴」

数学教師「今日は累乗根の大小比較をやっていくわよ」
数学教師「累乗根の大小比較では、y=a^x の性質を利用するのが大切よ」
数学教師「a>1 の時、r<s ⇔ a^r<a^s、つまり『大小一致』となるわ」
数学教師「0<a<1 の時、r<s ⇔ a^r>a^s、つまり『大小反対』となるわ」
数学教師「それで、当然だけど問題で出てくるのはそのままでは比較できないようになっているわ」
数学教師「だから各数を a^r に直す必要があるの。この時、底a をそろえるのよ」
数学教師「各数を a^r になおす時は、以下の公式を使ってちょうだい」
数学教師「①a^0=1　②a^-n=1/a^n　③√(n&a)=a^(1/n)　④(a^n)^(1/m)=a^(n/m)　⑤a^(m/n)=√(n&a^m )」
数学教師「式のイメージが掴み辛かったらWordを開いて数式をドラッグし、挿入→数式をクリックして式を２次元形式にすればいいわ」
数学教師「なお、大小の比較は関数の特徴（底a と 1 の大小に注意）から、各数の大小を比較するわ」
数学教師「例題を行うわよ。『2、√(3&4)、√(5&64)』の大小を比較せよ。』」
数学教師「2=2^1、√(3&4)=4^(1/3)=(2^2)^(1/3)=2^(2/3)、√(5&64)=64^(1/5)=(2^6)^(1/5)=2^(6/5) となるわ」
数学教師「y=2^x は増加関数であるから、2/3<1<6/5 より 2^(2/3)<2^1<2^(6/5)、すなわち √(3&4)<2<√(5&64) が答えね」
数学教師「それでは例題をやっていくわ。『1/√(3&3)、1、1/9の大小を比較せよ。』」
数学教師「それじゃあ……苗木、答えなさい」
苗木（1/√(3&3)=1/3^(1/3)=3^(-1/3)、1=3^0、1/9=1/3^2=3^-2 となるね）
苗木（y=3^x は増加関数であるから、指数の大小の関係は -2<-1/3<0 となる）
１：1<1/9<1/√(3&3) 　２：1/√(3&3)<1<1/9 　３：1/9<1/√(3&3)<1○
苗木「1/9<1/√(3&3)<1 です」
数学教師「その通りね。1/√(3&3)=1/3^(1/3)=3^(-1/3)、1=3^0、1/9=1/3^2=3^-2 より、y=3^x は増加関数であるから、-2<-1/3<0」
数学教師「したがって、3^-2<3^(-1/3)<3^0 すなわち、1/9<1/√(3&3)<1 となるわ」
数学教師「これには別解があって、底を 1/3 で揃えて解く事も出来るわ」
数学教師「この時は、y=(1/3)^x となり、減少関数となるから注意ね。でも答えは変わらないわ」

数学教師「今回は『関数の微分』ね。『微分法』については分かっているかしら？」
数学教師「関数 x^n の導関数は、 (x^n)'＝nx^(n－1) となり、定数関数 c の導関数は (c)'＝0 となるわ」
数学教師「導関数は、lim を使った式ね。面倒だからここでは述べないわ」
数学教師「今回は説明する文が短くて助かるわね、色々な意味で」
数学教師「それでは例題を解いていくわ。『f(x)＝x^3－5x^2－4x＋2 を微分せよ。また、x＝-2 における微分係数を求めよ。』」
数学教師「まず f(x) を微分すると、f'(x)＝(x^3)'－5(x^2)'－4(x)'＋(2)'＝3x^2－5×2x－4×1＋0 となるわ」
数学教師「(x^n)'＝nx^(n－1) と (c)'＝0 に当てはめるのよ」
数学教師「計算をして、答えは 3x^2－10x－4 になるわね」
数学教師「微分係数というのは、f'(x) において指示された式を代入すればいいのよ」
数学教師「例題なら、x＝-2 だから、微分係数 f'(-2) は、f'(x) において x＝-2 を代入するから、f'(-2)＝3×(-2)^2－10×(-2)－4＝28 になるわ」
数学教師「さて、練習問題を解いていくわよ。『f(x)＝(2x^2－3)(x＋5) を微分せよ。また、x＝-2 における微分係数を求めよ。』」
苗木（まずは与式を展開しよう。f(x)＝2x^3＋10x^2－3x－15 となるね。これを (x^n)'＝nx^(n－1) と (c)'＝0 に当てはめていけばいいわけだ）
苗木（その後、求めた式に微分係数 f'(2) を、f'(x) において x＝2 として代入すればいい。まあ求めなくても答えられるけど）
１：6x^2＋20x－3／-19 ○　２：2x^2－5x＋2／-2 　３：x^2＋2xー3／0
苗木「微分して『6x^2＋20x－3』で、微分係数は『-19』です」
数学教師「面白みのない男ね。まあその通りよ」
数学教師「式が積で表されているから展開して、f(x)＝2x^3＋10x^2－3x－15」
数学教師「よって、f'(x)＝2(x^3)'＋10(x^2)'－3(x)'－(15)'＝2×3x^2＋10×2x－3×1－0＝6x^2＋20x－3 となるわ」
数学教師「また、微分係数 f'(-2) は、f'(x) において x＝-2 を代入するから、f'(-2)＝6×(-2)^2＋20×(-2)－3＝-19 となるわ」

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