ゆり「安価でオペレーションするわよ。」藤巻「その13だぜ！」

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870 ：以下、名無しにかわりましてSS速報VIPがお送りします [sage saga]：2018/08/27(月) 11:20:41.45 ID:RdKlt/Sq0

x や y が実または複素内積空間 (X, ⟨•|•⟩) の元であるとき、シュワルツの不等式は次のように述べられる：

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .} |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .
左辺は内積 ⟨x|y⟩ の絶対値の平方である。ここに、等号は x と y が線型従属であるとき、つまり x, y のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム || x ||2 := ⟨x|x⟩ を用いればこれは

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert } |\langle x,y\rangle |\leq \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert
とも表せる。

コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結には、内積が2変数の関数と見て連続であるということ、従って特にひとつのベクトル x を決めるごとに内積が一つの連続汎関数 ⟨x|•⟩ あるいは ⟨•|x⟩ を定めるということである。さらに、ベクトル x に対して汎関数 x*: y → ⟨y|x⟩ を与える対応が等長作用素になっていることも従う。

また、この定理の系として内積ノルムに関する三角不等式

{\displaystyle \Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert +\Vert y\Vert } \Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert +\Vert y\Vert
が導かれる。ここで等号が成立するのは、x と y の一方が他方の非負実数倍であるとき、かつそのときに限る。